Una premessa teorica: il problema posto ha certamente una soluzione, grazie al Teorema di Mohr-Mascheroni. Tale Teorema infatti afferma, in parole povere, che ogni costruzione geometrica che si possa effettuare con riga e compasso, si può effettuare con il solo compasso (tranne ovviamente tracciare dei segmenti di retta). Essendo il punto medio di un segmento un punto costruibile molto facilmente con riga e compasso, esso si potrà senz'altro ottenere con il solo compasso. Vediamo come, servendoci della figura di sotto:

Siamo quindi nelle ipotesi in cui siano solo dati i due punti A e B, anche se dalla figura è tracciato il segmento AB, supponiamo che non venga dato il segmento. I passi sono i seguenti:
1) Costruzione dei punti C e D: puntare il compasso in A con apertura AB e in B con apertura AB. I traingoli ABC e ABD sono anche equilateri.
2) Costruzione del punti E: puntare il compasso in C con apertura CD e in D con stessa apertura CD. Il segmento BE viene ad essere lungo quanto AB.
3) Costruzione dei punti F e G: puntare il compasso in E con apertura EC e puntare il compasso in A con apertura AE. Un facile conto (di geometria analitica volendo) mostra che la distanza FE è pari alla distanza FM.
4) Costruzione di M: puntare il compasso in F con apertura EF ed in G con stessa apertura.

By Luca Lussardi